Математические снежинки в Wolfram|Alpha

Зимние снежинки имеют самое непосредственное отношение к математике: все они имеют разнообразную, но характерную форму, которую узнаешь с первого взгляда, и являются хорошей иллюстрацией геометрического понятия симметрии. Ко всему прочему, на снежинки очень удобно сослаться, когда нужно пояснить такое непростое понятие, как "фрактал".

Оригинальная совершенная геометрия снежинок обусловлена сложными физическими процессами, лежащими в основе их образования. В результате происходит последовательное повторение, пошаговое воспроизведение, копирование и масштабирование одной и той же простой геометрической формы, и из кристалликов льда образуются удивительные по красоте конструкции, складывающиеся в причудливые узоры, неизменно восхищающие и радующие глаз своим своей непредсказуемостью и совершенством.

Из всего многообразия известных на сегодня фрактальных линий далее рассмотрим только их "новогодние" варианты - "математические снежинки", которые можно легко получить с помощью Wolfram|Alpha.

Наиболее известной из таких линий является "снежинка Коха" - один из первых, исследованных учеными фракталов. Снежинка Коха является классическим примером непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Она обладает целым рядом удивительных свойств, и впервые была описана в статье шведского математика Хельге фон Коха (Niels Fabian Helge von Koch) в 1904 году: Вот, как она выглядит:

Koch snowflake


Ссылка выше указывает на калькулятор снежинок Коха в Wolfram|Alpha. С его помощью вы сможете исследовать процедуру построения снежинок Коха, основанную на простом итерационном правиле.


Дискретные вероятностные распределения в Wolfram|Alpha


После непрерывных вероятностных распределений рассмотрим основные дискретные распределения (discrete distributions). Самое известное из них - это биномиальное распределение вероятностей:

binomial distribution



Выше показаны числовые характеристики биномиального распределения. А на следующей картинке - функция плотности вероятности биномиального распределения и типичные графики:



И, наконец, функция биномиального распределения и ее типичные графики:



Аналогичные сведения с помощью Wolfram|Alpha можно получить для следующих наиболее употребительных дискретных вероятностных распределений:


P. S.

Кстати, красочная картинка в начале этого поста получена с помощью Wolfram|Alpha с использованием вероятностных распределений.

Непрерывные вероятностные распределения в Wolfram|Alpha

Вероятностные распределения играют исключительно важную роль в математике, статистике, математическом моделировании, физике и др. И в этом вопросе Wolfram|Alpha как всегда спешит нам на помощь. Например, если вдруг Вам срочно понадобилась информация о свойствах какого-либо вероятностного распределения (properties of a continuous distribution), обратитесь к Wolfram|Alpha с соответствующим запросом, и Вы тут же получите нужные сведения. Главное - это правильно задать свой вопрос Wolfram|Alpha, то есть правильно сформулировать нужный Вам запрос.

В этой заметке Вы найдете ответ на вопрос, как с помощью Wolfram|Alpha получить от вет на вопросы, касающиеся свойств основных вероятностных распределений непрерывных случайных величин.

В большинстве случаев, чтобы правильно обратиться к Wolfram|Alpha за информацией относительно вероятностных распределений, нужно вспомнить, как пишется название того или иного вероятностного распределения по-английски. Это относится, прежде всего, ко всем известному нормальному распределению, которое также называют распределением Гаусса.

Основную информацию относительно нормального распределения, а именно - его свойства, графики, числовые характеристики - Wolfram|Alpha выводит по запросу normal distribution (gauss distribution):

normal distribution (gauss distribution)

Во-первых, по этому запросу Вы получите перечень основных числовых характеристик нормального распределения (normal distribution statistical properties):


Для всех вероятностных распределений Wolfram|Alpha выводит пять основных числовых характеристик:
  • Mean - математическое ожидание, среднее;
  • Standard deviation - средне-квадратическое отклонение;
  • Variance - дисперсия;
  • Skewness - асимметрия;
  • Kurtosis - эксцесс.
Во-вторых, Wolfram|Alpha выводит формулу плотности нормального распределения - плотности вероятности нормального распределения (probability density function (PDF)) и график плотности нормального распределения (для некоторых параметров):


Также - формулу и график функции нормального распределения (cumulative distribution function (CDF)):



Наконец, в-третьих, Wolfram|Alpha выводит некоторые важные перцентили (percentiles) нормального распределения:


Аналогично можно получить те же основные сведения относительно других непрерывных вероятностных распределений. Вот список основных из них с соответствующими запросами: 
Если этот список неполный, попробуйте дополнить его сами. Результаты пишите в комментарии. Это будет полезно не только Вам, но и другим читателям этого блога.

Если Вам нужно получить отдельные свойства непрерывных вероятностных распределений, то в своем запросе перед названием распределения просто укажите нужное Вам свойство. Например, чтобы получить математическое ожидание нормального распределения, следует использовать запрос mean normal distribution. Чтобы получить плотность нормального распределения используйте запрос pdf normal distribution. Запрос cdf normal distribution выводит функцию нормального распределения и т.п. Будьте внимательны - при вводе запросов используйте английскую раскладку клавиатуры.

В следующих постах я собираюсь показать подробнее, с помощью каких запросов можно получить отдельные свойства вероятностных распределений, как получить свойства вероятностных распределений с заданными параметрами, приведу список основных дискретных вероятностных распределений, а также покажу, как с помощью Wolfram|Alpha вычисляется вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Кстати, последняя задача с помощью Wolfram|Alpha решается одинаково для всех распределений. Об этом важно знать, поскольку в университетских курсах (особенно на нематематических факультетах университетов) эта задача, рассматривается, как правило, на уровне примера, да и то лишь для нормального распределения непрерывных случайных величин, а также для биномиального распределения дискретных случайных величин.

Желаю успехов!

ShareThis