Как найти критические точки второго рода функции f(x) в Wolfram|Alpha

Здравствуйте, уважаемый читатель!

Продолжим изучение процедуры полного исследования функции в соответствии с классической схемой. При этом могучий инструмент Wolfram|Alpha мы используем, как вспомогательный, поручая ему рутинные задачи вроде нахождения производной или решения уравнений и т. п.

Напомню, что речь идет о функции



В предыдущих постах, на примере этой функции, уже были подробно рассмотрены два первых этапа общей схемы исследования функции. Теперь настала очередь третьего этапа, цель которого - найти критические точки второго рода, интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба и значения функции в точках перегиба (используется вторая производная).

Этот пост посвящен решению первого задания третьего этапа - как найти критические точки второго рода функции f(x) (нули второй производной) в Wolfram|Alpha.

Далее будет показано, как просто это сделать при помощи Wolfram|Alpha.

Сначала находим вторую производную функции f(x), используется запрос d^2/dx^2 f(x) или d2/dx2 f(x):

d^2/dx^2 (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))


Далее находим действительные нули второй производной, используется запрос вида real roots of  f`''(x). Выполнить этот запрос можно в два этапа.

Сначала нужно кликнуть мышью выражение второй производной данной функции, чтобы загрузилась новая страница, на которой в поле запроса системы Wolfram|Alpha будет введено выражение второй производной (иначе придется вводить его вручную):



Затем нужно в поле запроса перед выражением производной добавить собственно запрос real roots of, и выполнить его. В результате получим искомый результат:



Таким образом, данная функция имеет одну критическую точку второго рода x=1,04905.
Тот же результат хотелось бы получить непосредственно при помощи запроса real roots of  f`''(x), который имеет довольно сложную конструкцию:

real roots of d^2/dx^2 (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)).

Однако, такой запрос Wolfram|Alpha не срабатывает.

В следующем посте будет рассмотрено, как зная критические точки второго рода, найти интервалы выпуклости и вогнутости графика данной функции с помощью Wolfram|Alpha.

Как вычислить значения функции в точках ее экстремума в WolframAlpha

Здравствуйте, уважаемый читатель!

В предыдущем посте мы нашли точки экстремума данной функции

 

Теперь можно вычислить значения функции f(x) в точках ее экстремума.  Для этого Wolfram|Alpha использует запрос вида: f(x), where x=x1, x2, x3, ….

Для нашей функции этот запрос имеет вид:

(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)) where x=-1.4595, -0.795307, 5.92552



Этот расчет можно проверить, используя запрос extrema f(x) или же запросы maximize f(x) и minimize f(x), которые позволяют найти экстремальные значения функции "за один шаг":

extrema (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))



Как видим, проверка показывает, что результаты, полученные выше "классическим" способом, совпадают с результатами, которые выдает проверка.

Кстати, отдельно можно проверить расчет координат угловых точек графика  функции (где производная не существует). Напомню, что для этого используется запрос corners f(x), который мы уже использовали ранее.

ShareThis