Поведение функции f(x) возле ее вертикальных асимптот

После того, как найдены вертикальные асимптоты, возникает необходимость уточнить поведение функции f(x) возле ее вертикальных асимптот.

Это задание является шестым по счету в общей схеме исследования функции. Предыдущие пять заданий - это:
  1. Найти область определения функции f(x), точки ее разрыва.
  2. Найти множество значений функции f(x).
  3. Найти точки пересечения графика функции f(x) с осью Ox (нули функции f(x)).
  4. Найти точку пересечения графика функции f(x) с осью Oy.
  5. Найти асимптоты графика функции f(x).
Чтобы изучить поведение функции возле ее вертикальных асимптот нужно вычислить односторонние пределы функции f(x) во всех точках ее разрыва (п. 1). Здесь используются запросы: lim f(x) x->a^- (левосторонний предел) и lim f(x) x->a^+ (правосторонний предел):

lim (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)) x->(-1)^-

или

lim (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)) x->(-1)^+



Аналогично получим:

lim (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)) x->0^-



lim (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)) x->3^-



Как метод контроля (или же как основной способ) здесь также удобно снова использовать запрос discontinuities f(x), который выводит одностронние пределы в точках разрыва с помощью кнопки "Show limits":



Как видим, все результаты совпадают! А разве может быть иначе?

Как найти асимптоты графика функции f(x)

Найти асимптоты графика функции f(x) - это пятое по счету задание в общей схеме исследования функции, которое следует после четырех предыдущих.

Вот эти первые четыре задания, о которых идет речь:
  1. Найти область определения функции f(x), точки ее разрыва.
  2. Найти множество значений функции f(x).
  3. Найти точки пересечения графика функции f(x) с осью Ox (нули функции f(x)).
  4. Найти точку пересечения графика функции f(x) с осью Oy.
Для отыскания асимптот служит запрос asymptotes f(x), который позволяет найти вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

asymptotes (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)



Чтобы найти отдельно вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты используются запросы, соответственно: vertical asymptotes f(x), horisontal asymptotes f(x) и oblique asymptotes f(x). Кроме того, по запросу asymptotes f(x) выводятся также полиномиальные и параболические асимптоты графика функции (если они есть).

Горизонтальные асимптоты можно найти вычислив пределы функции f(x) на бесконечности. Для этого служат запросы вида: lim f(x) x->-oo и lim f(x) x->+oo. Вместо символа бесконечности можно использовать слово «infinity» или же символы «оо».

lim (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4) x->-oo



lim (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4) x->+oo



Как видим, данная функция не имеет горизонтальных асимптот: на минус бесконечности она неограниченно возрастает, а на плюс бесконечности - неограниченно убывает.

Наклонные асимптоты также можно найти пошагово, воспользовавшись уравнением наклонной асимптоты



параметрами которого являются угловой коэффициент k и свободный член b. здесь используются такие запросы: для отыскания k служит запрос lim f(x)/x x->oo, для отыскания b - запрос lim (f(x)-kx) x->oo (вместо k нужно подставить его значение, найденное на предыдущем шаге).

Найдем k:

k = lim ((5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))/x x->oo



Найдем b:

b = lim [(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))-(-5)x] x->oo



Как видим, этот результат совпадает с тем, что было найдено выше при помощи запроса asymptotes.

Как найти точку пересечения графика функции f(x) с осью Oy в Wolfram|Alpha

Дана функция:
Согласно классической общей схемы исследования функции ранее уже были решены следующие три задания:

Для решения этого задания используйте запрос: solve f(x), x=0 или аналогичный:




Это означает, что данная функция не пересекает ось Оу.

Следующий пункт в общей схеме исследования функции - асимптоты графика функции. Этот вопрос рассмотрим далее.

Точки пересечения графика функции f(x) с осью Ox

Продолжаем исследовать функцию:
В предыдущих постах мы уже решили два первых задания, а именно: нашли область определения функции f(x) и точки ее разрыва, а также множество значений функции f(x).

Теперь рассмотрим следующее по порядку в общей схеме исследования функции, третье задание: найти точки пересечения графика функции f(x) с осью Ox (нули функции f(x)).

Для этого используем запросы: real roots of f(x) или real solve f(x):

real roots of (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)

или

real solve (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)



Далее нам нужно будет найти точку пересечения графика функции f(x) с осью Oy. Об этом в следующем посте.

Как найти множество значений функции f(x) с помощью Wolfram|Alpha

Продолжаем исследовать функцию одной переменной с помощью Wolfram|Alpha на примере функции:


Если помните, ранее процедуру исследования функции мы условились разбить на несколько этапов, которые мы намерены последовательно рассмотреть каждый по отдельности.

Ранее уже было рассмотрено и выполнено первое задание первого этапа исследования функции: найти область определения функции f(x), точки ее разрыва. Теперь наступил черед найти решение второго задания - ответить на вопрос "Как найти множество значений функции f(x)?".

Все просто. Используйте для этого запрос range f(x).

В данном случае, результат, который выводит Wolfram|Alpha по запросу range (и который вы, конечно же, могли бы, приложив некоторые усилия, получить "вручную"), может навести на обманчивую мысль о том, что график исследуемой функции имеет довольно простой вид.

range y=(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)



На этом пока все.

В следующий раз будет интереснее: мы рассмотрим решение третьего (важного для исследования и построения графика функции) задания, суть которого в следующем: как найти точки пересечения графика функции f(x) с осью Ox (нули функции f(x)).

Как найти область определения функции f(x) и точки ее разрыва в Wolfram|Alpha

Рассмотрим функцию:
Задание: найти область определения функции f(x), точки ее разрыва.

Для отыскания области определения Wolfram|Alpha использует запрос domain f(x). В нашем примере получим:

domain (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)



Для дробно-рациональных функций также можно использовать запрос real roots of q(x), где q(x) – знаменатель рациональной дроби, или запрос q(x)!=0 over reals, с помощью которых найдутся нули знаменателя (точки разрыва функции).

Используя запрос real roots of получаем:

real roots of (3+2x-x^2)x^4



Запрос q(x)!=0 over reals выдает аналогичный результат, но выводит его в несколько иной форме:

(3+2x-x^2)x^4!=0 over reals



Wolfram|Alpha имеет еще один хороший способ изучения разрывных функций - это запрос discontinuities f(x)

discontinuities (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)


Далее мы вернемся к вопросу о том, как найти множество значений функции в Wolfram|Alpha.

ShareThis