Криволинейные вычеты и решение дифференциальных уравнений операционным методом в Wolfram|Alpha

Сегодня утром через контактную форму блога (кнопка формы находится внизу под текстом на странице "О блоге") пришел вопрос от читателя (цитирую оригинал):
"Как записать в wolfram?
Криволинейный интеграл по вычетам и
дифференциале уравнения операционным
методом"
Поскольку обратный адрес для сообщения, пришедшего через контактную форму, начинается с no-relpay, отвечаю здесь (думаю, других это тоже может заинтересовать).

Здравствуйте, Родион!

Полагаю, вы имеете в виду криволинейный вычет функции в точке. По определению, криволинейный вычет функции в точке - это коэффициент С-1 в разложении функции в ряд Лорана в данной точке. Потому, чтобы получить нужный вам криволинейный вычет, следует разложить функцию в ряд Лорана в соответствующей точке и посмотреть коэффициет С-1 в этом разложении. Как это сделать в Вольфрам Альфа смотрите здесь.

Что касается решения дифференциальных уравнений операционным методом, то...
Вольфрам Альфа использует для решения дифференциальных уравнений запрос solve. Причем движок Вольфрам Альфа сам выбирает, как находить решение дифференциального уравнения. При необходимости,  в отдельных случаях, Вольфрам Альфа использует также и операционный метод (пример - там же).

Операционный метод решения дифференциальных уравнений основан на использовании прямого и обратного интегрального преобразования Лапласа.

Если вам нужно решить дифференциальное уравнение именно операционным методом (хотя, возможно, с точки зрения ВольфрамАльфа его проще решить другим методом), то используйте "ручной" способ (пример). В начале решения вам придется находить изображения функций, а в конце - оригиналы. Вот тут-то можно будет использовать возможности Вольфрам Альфа. Чтобы найти изображение, используйте запрос LT (то есть Laplace transform), а для нахождения оригиналов - запрос ILT (inverse Laplace transform).

Эти запросы выводят калькуляторы изображений и оригиналов соответственно. Напомню, как выглядит калькулятор изображений Wolfram|Alpha :

LT



А вот так выглядит калькулятор оригиналов:

ILT



P. S.

Такие вопросы лучше задавать через комментарии в блоге. Ответы будут, по-возможности, тоже через комментарии. Быстрые ответы не гарантирую, особенно, если вопрос мне не очень интересен. Персональные консультации - через скайп (по запросу).

Как найти кривизну линии в Wolfram|Alpha

Представьте, что вы намерены построить американские горки. Для них вам нужно спроектировать изогнутую форму трека, который сначала нужно создать на компьютере, прежде чем строить из металла. Вы, конечно, захотите, чтобы вдоль этой кривой ехать было весело. А это значит, что горки должны иметь много крутых поворотов, однако не слишком резких, чтобы посетители парка развлечений не заболели или не упали в обморок.


Источник картинки: suite101.com

Модель "хищник-жертва" в Wolfram|Alpha

Модель "хищник-жертва" (модель Лоттки-Вольтерра) - это математическая модель межвидовой конкуренции биологических видов. Она описывает взаимодействие между двумя видами, находящимися в отношении "хищник-жертва", "паразит-хозяин" и т. п.

Данная модель представлена системой 2-х дифференциальных уравнений первого порядка:



Здесь: х=x(t) - количество "жертв", у=y(t) - количество "хищников", которые взаимодействуют в рамках закрытой экосистемы в момент времени t.

Согласно этой модели, значения х и у подвержены колебаниям, что очевидно: возрастание количества потенциальных жертв естественно приводит к увеличению количества хищников, что в свою очередь приводит к уменьшению количества жертв, за счет чего уменьшается количество хищников и т. д. Этот процесс носит циклический характер, что графически описывается так: точка с координатами (х; у) движется вдоль некоторой замкнутой фазовой траектории вокруг точки равновесия, положение которой зависит от конкретной ситуации, параметров конкретной модели.

Изучение разрывных функций с помощью Wolfram|Alpha

Больше года тому назад в этом блоге был опубликован пост о том, как построить график функции в Wolfram|Alpha, который сразу стал очень популярным, и привлек большое количество новых читателей к этому блогу, благодаря большому интересу к теме построения графиков функций.

После этого первого поста были и другие, посвященные построению графиков функций в  Wolfram|Alpha. Например, это Графики функций одной переменной в Wolfram|Alpha, Графики функций двух переменных в Wolfram|Alpha, Сложные" графики в Wolfram|Alpha, Графики функций в лог-линейной системе системе координат  и другие.

Wolfram|Alpha может находить и анализировать точки разрыва функций действительного аргумента. Для этого служит специальный запрос discontinuities.

Кроме поиска разрывов, по запросу discontinuities Wolfram|Alpha будет пытаться вычислить левые и правые пределы в каждой разрыва, а также значение функции в точке разрыва, если оно существует. Чтобы получить эту информацию, нужно нажать кнопку "Show limits".

Как известно, существует три основных типа точек разрыва функций действительного аргумента. Первый тип - это "бесконечный" разрыв, который имеет место в точке, где функция возрастает до бесконечности и/или убывает до минус бесконечности. В точках бесконечного разрыва функция имеет вертикальную асимптоту. Типичный примером может служить функция 1/(х:-1)

Интегральное представление аналитических функций в Wolfram|Alpha

Запрос на отыскание интегрального представления функции в Wolfram|Alpha имеет вид

[функция] integral representation

Наиболее простой вид  имеет интегральное представление функции ln(x):




Фигуры Лиссажу в Wolfram|Alpha

Кривые (фигуры) Лиссажу возникают при наложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Они принимают различную форму в зависимости от параметров этих колебаний: амплитуды, частоты, фазы.

Физики наблюдают и изучают фигуры Лиссажу при помощи специальных приборов. Однако, с помощью Wolfram|Alpha кто угодно может нарисовать эти фигуры безо всяких приборов, лишь при помощи специального калькулятора кривых Лиссажу. Задавая параметры двух взаимодействующих колебаний в этом калькуляторе, вы получите изображение кривой Лиссажу, которая бы образовалась в результате суперпозиции этих колебаний.

Чтобы получить фигуры Лиссажу в Wolfram|Alpha, нужно сначала выполнить запрос, по которому система выводит калькулятор кривых Лиссажу:

Lissajous curve

Затем нужно задать параметры горизонтального и вертикального колебаний (так, как-будто вы настраиваете их на осциллографе):



Wolfram|Alpha интерпретирует введенные параметры следующим образом:



После этого Wolfram|Alpha производит необходимые вычисления, и выводит изображение соответствующей фигуры Лиссажу:



Отражение, поворот и сдвиг точек в Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha позволяет рассчитать геометрические преобразования точек плоскости и пространства. Например, такие, как симметрия точки относительно прямой или плоскости, поворот точки на заданный угол в заданном направлении относительно заданного центра, сдвиг.

При этом Wolfram|Alpha выводит не только сам окончательный результат - координаты точки после преобразования, но также матрицу преобразования координат, уравнения трансформации, в том числе и в матричной форме, а также визуальное представление результата.

Рассмотрим некоторые основные задачи на геометрические преобразования точек.

Найти точку симметричную данной точке относительно прямой

Как найти площадь фигуры ограниченной кривыми линиями

В одном из предыдущих постов, посвященных применению интегрального исчисления, уже обсуждался вопрос Как найти площадь плоской фигуры в Wolfram|Alpha.

И было сказано, что запрос area between, который  в Wolfram|Alpha служит для вычисления площадей плоских фигур при помощи интегралов, срабатывает корректно лишь в некоторых относительно простых случаях. А для решения более сложных задач можно обратится к "ручному" способу - пошаговой процедуре вычисления площади плоской фигуры при помощи интеграла. То есть, на первом шаге определяем пределы интегрирования, а затем, используя найденные пределы, вычисляем определенный интеграл - площадь фигуры. Как это сделать практически, описано в упомянутом выше посте.

Однако, для решения большинства прикладных задач, особенно для не математиков, этот "ручной" способ не очень-то удобен. Поэтому Wolfram|Alpha предлагает и другие способы как найти площадь фигуры ограниченной двумя кривыми.

Во-первых, в самых простых случаях, как уже говорилось, площадь между кривыми можно вычислить с помощью запроса area between:




ShareThis