Математические снежинки в Wolfram|Alpha

Зимние снежинки имеют самое непосредственное отношение к математике: все они имеют разнообразную, но характерную форму, которую узнаешь с первого взгляда, и являются хорошей иллюстрацией геометрического понятия симметрии. Ко всему прочему, на снежинки очень удобно сослаться, когда нужно пояснить такое непростое понятие, как "фрактал".

Оригинальная совершенная геометрия снежинок обусловлена сложными физическими процессами, лежащими в основе их образования. В результате происходит последовательное повторение, пошаговое воспроизведение, копирование и масштабирование одной и той же простой геометрической формы, и из кристалликов льда образуются удивительные по красоте конструкции, складывающиеся в причудливые узоры, неизменно восхищающие и радующие глаз своим своей непредсказуемостью и совершенством.

Из всего многообразия известных на сегодня фрактальных линий далее рассмотрим только их "новогодние" варианты - "математические снежинки", которые можно легко получить с помощью Wolfram|Alpha.

Наиболее известной из таких линий является "снежинка Коха" - один из первых, исследованных учеными фракталов. Снежинка Коха является классическим примером непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Она обладает целым рядом удивительных свойств, и впервые была описана в статье шведского математика Хельге фон Коха (Niels Fabian Helge von Koch) в 1904 году: Вот, как она выглядит:

Koch snowflake


Ссылка выше указывает на калькулятор снежинок Коха в Wolfram|Alpha. С его помощью вы сможете исследовать процедуру построения снежинок Коха, основанную на простом итерационном правиле.


Дискретные вероятностные распределения в Wolfram|Alpha


После непрерывных вероятностных распределений рассмотрим основные дискретные распределения (discrete distributions). Самое известное из них - это биномиальное распределение вероятностей:

binomial distribution



Выше показаны числовые характеристики биномиального распределения. А на следующей картинке - функция плотности вероятности биномиального распределения и типичные графики:



И, наконец, функция биномиального распределения и ее типичные графики:



Аналогичные сведения с помощью Wolfram|Alpha можно получить для следующих наиболее употребительных дискретных вероятностных распределений:


P. S.

Кстати, красочная картинка в начале этого поста получена с помощью Wolfram|Alpha с использованием вероятностных распределений.

Непрерывные вероятностные распределения в Wolfram|Alpha

Вероятностные распределения играют исключительно важную роль в математике, статистике, математическом моделировании, физике и др. И в этом вопросе Wolfram|Alpha как всегда спешит нам на помощь. Например, если вдруг Вам срочно понадобилась информация о свойствах какого-либо вероятностного распределения (properties of a continuous distribution), обратитесь к Wolfram|Alpha с соответствующим запросом, и Вы тут же получите нужные сведения. Главное - это правильно задать свой вопрос Wolfram|Alpha, то есть правильно сформулировать нужный Вам запрос.

В этой заметке Вы найдете ответ на вопрос, как с помощью Wolfram|Alpha получить от вет на вопросы, касающиеся свойств основных вероятностных распределений непрерывных случайных величин.

В большинстве случаев, чтобы правильно обратиться к Wolfram|Alpha за информацией относительно вероятностных распределений, нужно вспомнить, как пишется название того или иного вероятностного распределения по-английски. Это относится, прежде всего, ко всем известному нормальному распределению, которое также называют распределением Гаусса.

Основную информацию относительно нормального распределения, а именно - его свойства, графики, числовые характеристики - Wolfram|Alpha выводит по запросу normal distribution (gauss distribution):

normal distribution (gauss distribution)

Во-первых, по этому запросу Вы получите перечень основных числовых характеристик нормального распределения (normal distribution statistical properties):


Для всех вероятностных распределений Wolfram|Alpha выводит пять основных числовых характеристик:
  • Mean - математическое ожидание, среднее;
  • Standard deviation - средне-квадратическое отклонение;
  • Variance - дисперсия;
  • Skewness - асимметрия;
  • Kurtosis - эксцесс.
Во-вторых, Wolfram|Alpha выводит формулу плотности нормального распределения - плотности вероятности нормального распределения (probability density function (PDF)) и график плотности нормального распределения (для некоторых параметров):


Также - формулу и график функции нормального распределения (cumulative distribution function (CDF)):



Наконец, в-третьих, Wolfram|Alpha выводит некоторые важные перцентили (percentiles) нормального распределения:


Аналогично можно получить те же основные сведения относительно других непрерывных вероятностных распределений. Вот список основных из них с соответствующими запросами: 
Если этот список неполный, попробуйте дополнить его сами. Результаты пишите в комментарии. Это будет полезно не только Вам, но и другим читателям этого блога.

Если Вам нужно получить отдельные свойства непрерывных вероятностных распределений, то в своем запросе перед названием распределения просто укажите нужное Вам свойство. Например, чтобы получить математическое ожидание нормального распределения, следует использовать запрос mean normal distribution. Чтобы получить плотность нормального распределения используйте запрос pdf normal distribution. Запрос cdf normal distribution выводит функцию нормального распределения и т.п. Будьте внимательны - при вводе запросов используйте английскую раскладку клавиатуры.

В следующих постах я собираюсь показать подробнее, с помощью каких запросов можно получить отдельные свойства вероятностных распределений, как получить свойства вероятностных распределений с заданными параметрами, приведу список основных дискретных вероятностных распределений, а также покажу, как с помощью Wolfram|Alpha вычисляется вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Кстати, последняя задача с помощью Wolfram|Alpha решается одинаково для всех распределений. Об этом важно знать, поскольку в университетских курсах (особенно на нематематических факультетах университетов) эта задача, рассматривается, как правило, на уровне примера, да и то лишь для нормального распределения непрерывных случайных величин, а также для биномиального распределения дискретных случайных величин.

Желаю успехов!

Как разложить функцию в степенной ряд

Разложение функций в степенные ряды чаще всего является не удовольствием, как многие другие математические преобразования, а необходимостью. К этой процедуре чаще всего прибегают при выполнении приближенных вычислений. При этом используются формулы разложения функций в ряд Тейлора (Taylor series) и ряд Маклорена (Maclaurin series):

          
С практической точки зрения, разложение функции в степенной ряд - это чисто техническая процедура, которая требует довольно много времени и усилий, но мало что дает для понимания конечного результата. Если только освоение этой процедуры не является самоцелью. Конечно, для этого можно использовать справочники рядов. Однако, такие справочники у нас не всегда под рукой. Да и издавались они достаточно давно. А вот Интернет... всегда с нами.

Wolfram|Alpha, естественно, умеет находить разложение функций в степенные ряды. Для этого, в простейшем случае, служит запрос series. Вот, например:


Обратите внимание, что Wolfram|Alpha без каких-либо дополнительных указаний выводит область сходимости полученного степенного ряда: converges everywhere - означает, что ряд сходится всюду.

Кроме того, очень удобно, что по запросу series f(x) система Wolfram|Alpha выводит графическое представление разложения данной функции в степенной ряд, которое позволяет визуально оценить аппроксимацию данной функции ее степенным рядом в случае удержания заданного количества членов ряда:


Это важно, поскольку слишком часто, при изучении разложения функций в степенные ряды такая чрезвычайно полезная для практики возможность остается невостребованной в связи с относительной трудоемкостью ее реализации.

Halloween, тыква и математика для аграриев с Wolfram|Alpha

Современный праздник Хэллоуин традиционно отмечается в англоязычных странах 31 октября, в канун Дня всех святых. Он восходит к традициям древних кельтов Ирландии и Шотландии, проживавших на территории современных Великобритании и Северной Ирландии, и официальным выходным днём не является.

Главный символ Хэллоуина - Светильник Джека (англ. Jack-o'-lantern). Его знают все. Это - фонарь из тыквы, на которой вырезано зловещее усмехающееся лицо. Для пущего эффекта внутрь тыквы помещается горящая свеча. В темное время суток светильник Джека представляет собой довольно жуткое зрелище, от которого бегут мурашки по коже.

Очевидно, что Halloween - не наш праздник. Однако, традиция вырезать из тыквы смешные и жуткие рожи непостижимым образом уже давно пересекла наши границы и прочно укоренилась. Поэтому неудивительно, что в канун Хэллоуина математики тоже вспоминают о тыкве.

В переводе на английский "тыква" - это "pumpkin". Wolfram|Alpha позволяет получить изображение математического объекта, который называется "поверхность тыквы" по запросу pumpkin surface:

pumpkin surface



Здесь, как видим, параметрические уравнения "поверхности тыквы" достаточно просты. Однако, они позволяют довольно точно смоделировать форму реального объекта.

Таблица умножения в Wolfram|Alpha

Приветствую Вас, уважаемый читатель!

Посмотрите еще раз на эти символы. Знаете ли Вы, что они означают?

Признаюсь, я тоже этого не знал. И, думаю, навряд ли узнал бы, если бы не Wolfram|Alpha!

К чему это я? Да к тому, что у тех, кто систематически читает блог "Wolfram|Alpha по русски" может сложится впечатление, что Wolfram|Alpha - это математический монстр, который может по-настоящему пригодиться лишь тем, кто постоянно витает в сферах высшей математики. Если это так, прошу прощения - я вовсе не хотел, чтобы Вы так думали.

Напротив, я хочу показать Вам, что Wolfram|Alpha имеет очень широкую и разнообразную сферу применения. Надеюсь, со временем, я это Вам докажу. И даже для изучения элементарной математики Wolfram|Alpha может оказаться весьма полезным инструментом.

Надо сказать, что мои записки в этом блоге в значительной степени отражают те текущие задачи, которые мне приходится ежедневно решать в связи с моей основной деятельностью - преподаванием высшей математики и других математических дисциплин.

Вот и на этот раз, когда по ходу возникла срочная необходимость организовать повторение таблицы умножения, я первым делом подумал о Wolfram|Alpha.

Конечно, можно было бы и дальше использовать на занятиях калькуляторы в мобильных телефонах. Но, многолетняя практика показывает, что для более-менее успешного изучения математических дисциплин, кое-что обязательно нужно знать на память. Этого кое-чего не так уж много. И главное в этом перечне фактов, обязательных для запоминания - это, прежде всего, таблица умножения, таблица производных основных элементарных функций, и, конечно же, таблица интегралов.

Многие еще помнят, что в старых строгих школьных тетрадках в клеточку на задней стороне обложки обязательно была напечатана таблица умножения. Теперь тетрадки другие - с веселыми цветными обложками. А таблица умножения на них встречается довольно редко. В то же время, компьютер или смартфон с доступом к Интернету - самая обычная вещь.

Например, вот как выглядит мобильная версия Wolfram|Alpha на мобильных устройствах моих студентов:



Поэтому, если Вы вдруг подзабыли таблицу умножения :), то Вам, скорее всего, будет проще обратиться к Wolfram|Alpha с запросом multiplication table, чем найти тетрадку с таблицей умножения.

Как построить график функции f(x) по результатам проведенного исследования

В этом посте мы наконец-то построим график функции по результатам проведенного ранее исследования.

В серии постов, посвященной реализации общей схемы исследования функции одной переменной с применением Wolfram | Alpha, мы последовательно прошли целый ряд этапов, действуя так, как если бы мы проводили исследование функции "вручную". Wolfram | Alpha при этом мы использовали, как вспомогательный инструмент - своего рода калькулятор на все случаи жизни. Это позволило нам в значительной степени отвлечься от рутинных вычислений и сосредоточиться собственно на исследовании функции. Без Wolfram | Alpha некоторая часть необходимых вычислений оказалась бы слишком трудоемкой для ручных расчетов, и исследование данной функции показалось бы нам слишком сложной задачей.

Именно это соображение - возможность, невзирая на объемность и трудоемкость рутинных вычислений исследовать любые функции, - главный резон в пользу использования Wolfram | Alpha при решении подобного рода задач. Фактически, без ограничения общности решается прежде всего методическое задание - изучить и научиться применять на практике общую схему исследования функции.

Однако, на практике, при решении прикладных задач, навряд ли кто-либо станет идти таким сложным и запутанным путем, если только имеются иные возможности. А они имеются. По ходу решения, эти возможности я систематически рассматривал, и пытался акцентировать на них ваше внимание: это специфические запросы Wolfram | Alpha, которые позволяют " в один клик" по мере надобности находить все отдельные свойства и характерные точки функции. Подробное изложение "практического" подхода к исследованию функции с помощью Wolfram | Alpha, в отличие от "теоретического", которому мы следовали все это время, будет представлено в одном из следующих постов.

Никто кроме Вас не поможет мне выиграть ЭТО пари!

Здравствуйте, уважаемый читатель!

Надеюсь, что читая время от времени сообщения в этом блоге, Вы получаете от них пользу и такое же удовольствие, какое получаю я - автор этого блога, когда пишу их для Вас! Если так, то я очень рад этому. Ведь это значит, что я делаю это не зря, и кому-то это нужно.

Рассчитывая на Ваше хорошее отношение ко мне, как к автору этого блога и как к человеку, который бескорыстно отдает свое свободное время на благо всех и каждого, разбираясь с особенностями применения системы Wolfram|Alpha для изучения математики, обращаюсь к Вам с необычной просьбой.

Суть моей просьбы состоит в следующем: Помогите мне выиграть пари!

Как найти точки перегиба функции f(x) в Wolfram|Alpha

Здравствуйте, уважаемый читатель!

Как Вы помните, в предыдущем посте мы нашли критические точки второго рода данной функции



Мы определили, что у данной функции всего лишь одна критическая точка второго рода x=1.04905.

Теперь воспользуемся достаточным условием существования точек перегиба, чтобы определить, действительно ли эта точка является точкой перегиба или же она таковой не является.

Для этого последовательно выполним следующие шаги.

Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции f(x). Для этого нам следует найти интервалы знакопостоянства второй производной f`''(x), используя запросы solve f`''(x)>0 и solve f`''(x)<0 или просто f`''(x)>0 и f`''(x)<0.

Вот, как выглядит результат запроса f`''(x)>0, который позволяет определить интервалы вогнутости (выпуклости вниз) для данной функции:

d^2/dx^2 (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))>0


Аналогично, по запросу  f`''(x)<0, найдем интервалы выпуклости (вверх) для данной функции:

d^2/dx^2 (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))<0



Сделать выводы относительно точки перегиба. Теперь, когда у нас имеются все необходимые сведения, можно, используя достаточное условие существования точек перегиба, сделать выводы относительно точек перегиба функции функции f(x).

Для  удобства и наглядности, как и при отыскании точек экстремума, нанесем точки разрыва функции и найденную выше критическую точку второго рода на числовую ось:
number line -1, 0, 1.04905, 3



Используя достаточный признак существования точек перегиба функции одной переменной, определим, действительно ли найденная выше критическая точка второго рода является точкой перегиба графика данной функции (все отметки на этом рисунке, как и выше, сделаны мною вручную "на скорую руку"):



Итак, вывод относительно точки перегиба сделан: критическая точка второго рода x=1.04905 действительно является точкой перегиба. Позже этот результат мы проверим другим способом, который имеется в арсенале Wolfram|Alpha.

Осталось только вычислить значения функции f(x) в точках перегиба. Для этого используется запрос вида f(x), where x=…

(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)), where x=1.04905



Wolfram|Alpha позволяет легко проверить наши выводы относительно точки перегиба, а также непосредственно последний результат, можно с помощью запроса inflection points f(x), который специально предназначен именно для отыскания точек перегиба:

inflection points (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))



Как видим, результаты практически совпадают (с точностью до тысячных).

Итак, основная работа по реализации общей схемы исследования функции с помощью Wolfram|Alpha нами проделана.

Остался следующий этап в общей схеме исследования функции - построение графика функции по результатам исследования. Этот этап будет рассмотрен нами далее.

Как найти критические точки второго рода функции f(x) в Wolfram|Alpha

Здравствуйте, уважаемый читатель!

Продолжим изучение процедуры полного исследования функции в соответствии с классической схемой. При этом могучий инструмент Wolfram|Alpha мы используем, как вспомогательный, поручая ему рутинные задачи вроде нахождения производной или решения уравнений и т. п.

Напомню, что речь идет о функции



В предыдущих постах, на примере этой функции, уже были подробно рассмотрены два первых этапа общей схемы исследования функции. Теперь настала очередь третьего этапа, цель которого - найти критические точки второго рода, интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба и значения функции в точках перегиба (используется вторая производная).

Этот пост посвящен решению первого задания третьего этапа - как найти критические точки второго рода функции f(x) (нули второй производной) в Wolfram|Alpha.

Далее будет показано, как просто это сделать при помощи Wolfram|Alpha.

Сначала находим вторую производную функции f(x), используется запрос d^2/dx^2 f(x) или d2/dx2 f(x):

d^2/dx^2 (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))


Далее находим действительные нули второй производной, используется запрос вида real roots of  f`''(x). Выполнить этот запрос можно в два этапа.

Сначала нужно кликнуть мышью выражение второй производной данной функции, чтобы загрузилась новая страница, на которой в поле запроса системы Wolfram|Alpha будет введено выражение второй производной (иначе придется вводить его вручную):



Затем нужно в поле запроса перед выражением производной добавить собственно запрос real roots of, и выполнить его. В результате получим искомый результат:



Таким образом, данная функция имеет одну критическую точку второго рода x=1,04905.
Тот же результат хотелось бы получить непосредственно при помощи запроса real roots of  f`''(x), который имеет довольно сложную конструкцию:

real roots of d^2/dx^2 (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)).

Однако, такой запрос Wolfram|Alpha не срабатывает.

В следующем посте будет рассмотрено, как зная критические точки второго рода, найти интервалы выпуклости и вогнутости графика данной функции с помощью Wolfram|Alpha.

Как вычислить значения функции в точках ее экстремума в WolframAlpha

Здравствуйте, уважаемый читатель!

В предыдущем посте мы нашли точки экстремума данной функции

 

Теперь можно вычислить значения функции f(x) в точках ее экстремума.  Для этого Wolfram|Alpha использует запрос вида: f(x), where x=x1, x2, x3, ….

Для нашей функции этот запрос имеет вид:

(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)) where x=-1.4595, -0.795307, 5.92552



Этот расчет можно проверить, используя запрос extrema f(x) или же запросы maximize f(x) и minimize f(x), которые позволяют найти экстремальные значения функции "за один шаг":

extrema (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))



Как видим, проверка показывает, что результаты, полученные выше "классическим" способом, совпадают с результатами, которые выдает проверка.

Кстати, отдельно можно проверить расчет координат угловых точек графика  функции (где производная не существует). Напомню, что для этого используется запрос corners f(x), который мы уже использовали ранее.

Как найти точки экстремума функции f(x) в Wolfram|Alpha

Здравствуйте, дорогой читатель!

Продолжим изучение возможностей Wolfram|Alpha относительно реализации общей схемы исследования функции одной переменной f(x) на примере функции



Возможно, дочитав эту статью до конца, Вы скажете, что ее название не совсем удачное. И я с Вами соглашусь. Действительно, для отыскания точек экстремума в Wolfram|Alpha не обязательно прибегать к такой изощренной последовательности действий, как описано в этой и предыдущих статьях. Этот способ будет указан далее. Однако, если речь идет о реализации классической общей схемы исследования функции одной переменной средствами Wolfram|Alpha , то без этого шага, описанного в этой статье, никак не обойтись.

После последовательного выполнения предыдущих пунктов общей схемы исследования функции, теперь можно сделать вывод относительно точек экстремума функции функції f(x) по результатам п. п. 8 и 9 (1-е и 2-е задание 2-го этапа общей схемы исследования функции, соответственно). Для этого воспользуемся первым достаточным признаком существования экстремума функции одной переменной.
Для наглядности, нанесем все характерные точки данной функции, полученные в результате предыдущего исследования, на числовую ось:

number line -1.4595, -1, -0.795307, 0, 3, 5.92552



Используя первый достаточный признак существования экстремума функции одной переменной, определим точки экстремума (все отметки на этом рисунке сделаны мною вручную "на скорую руку"):



Итак, выводы относительно точек экстремума сделаны. Позже их можно будет проверить другим способом, который имеется в арсенале Wolfram|Alpha.

Как найти интервалы монотонности функции f(x) в Wolfram|Alpha

Здравствуйте, дорогой читатель!

Продолжаем изучение возможностей Wolfram|Alpha относительно реализации общей схемы исследования функции одной переменной f(x) на примере функции



После того, как нами найдены критические точки первого рода функции f(x), возникает следующий вопрос: Как найти интервалы монотонности функции f(x) в Wolfram|Alpha?

В предыдущих статьях был подробно рассмотрен первый этап общей схемы исследования функции, который включает в себя 7 основных заданий, с которыми можно ознакомится здесь. Как отмечалось, на первом этапе производная не применяется.

Решение заданий второго этапа уже требует применения производной, поскольку цель второго этапа - найти критические точки первого рода, интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремальные значения функции, угловые точки графика функции.

Первое задание второго этапа (но же восьмое по счету в общей схеме исследования функции) нами уже решено в предыдущей статье. Это задание: найти критические точки первого рода функции f(x).

Рассмотрим теперь второе задание второго этапа общей схемы исследования функции - оно же 9-е по счету в общей схеме исследования функции. Нам нужно найти интервалы монотонности функции f(x).

Вот, как это задание решается с помощью Wolfram|Alpha.

Сначала следует найти производную данной функции. Для данной функции производная найдена в предыдущей статье с помощью такого запроса:

d/dx (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))

Затем ищем непосредственно интервалы знакопостоянства производной f`(x), которые и являются интервалами монотонности данной функции, для этого используются запросы на решение неравенств: solve f`(x)>0 (интервалы возрастания) и solve f`(x)<0 (интервалы убывания).

Для данной функции интервалы возрастания:

solve (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)>0



Аналогично, интервалы убывания функции:

solve (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)<0




Чтобы окончательно сформулировать решение поставленного задания - найти интервалы монотонности функции f(x) - внимательно изучите результаты, которые выводит Wolfram|Alpha в ответ на эти запросы. На рисунках видны начало и конец каждого интервала: они подчеркнуты мною, чтобы вам было удобнее их видеть.

Как найти критические точки первого рода функции f(x)

Общую схему исследования функции удобно делить на этапы.

Первый этап исследования функции, который не требует привлечения производной, уже рассмотрен нами выше. Этот этап включает выполнение семи основных заданий:
  1. Найти область определения функции f(x), точки ее разрыва
  2. Найти множество значений функции f(x)
  3. Найти точки пересечения графика функции f(x) с осью Ox (нули функции f(x))
  4. Найти точку пересечения графика функции f(x) с осью Oy
  5. Найти асимптоты графика функции f(x)
  6. Исследовать поведение функции f(x) возле ее вертикальных асимптот
  7. Найти координаты точек пересечения графика функции f(x) с ее асимптотами
На втором этапе для исследования функции уже применяется производная. Цель второго этапа - найти критические точки первого рода, интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремальные значения функции, угловые точки графика функции (используется первая производная).

Рассмотрим первое задание второго этапа (оно восьмое по счету в общей схеме исследования функции): найти критические точки первого рода (точки, где производная функции f(x) равна нулю или не существует).

Вот, как это задание решается с помощью Wolfram|Alpha для функции:



Сначала находим производную функции f(x), используется запрос: d/dx f(x):

d/dx (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))



Далее находим действительные нули производной, используется запрос: real roots of f`(x)Здесь, чтобы не вводить все выражение производной вручную заново можно щелкнуть это выражение в предыдущем окне - откроется новая страница, где выражение производной уже будет введено в поле запроса Wolfram|Alpha:




Кстати, это выражение для дальнейшего полезно скопировать в буфер обмена (и для надежности сохранить в Блокноте).

Теперь добавим перед производной префикс real roots of и выполним запрос - найдем действительные нули производной:

real roots of (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)




Два предыдущих действия можно объединить в одно: real roots of d/dx f(x).

real roots of d/dx[(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))]



И эти результаты тоже совпадают.

Теперь находим точки разрыва производной f'(x), которые принадлежат области определения функции f(x): domain f'(x).

domain (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)



Как видим, в данном случае область определения производной совпадает с областью определения функции. Поэтому в области определения функции производная функции разрывов не имеет. А значит, существует во всех точках области определения функции. Потому, в частности, график функции не имеет угловых точек - "переломов".

Косвенно проверить этот результат можно с помощью запроса corners f(x), который выводит координаты угловых точек (точек "перелома") графика функции:

corners (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))



Итак, восьмое задание в общей семе исследования функции решено. На очереди 9-е задание: Определить интервалы монотонности функции f(x). Как его решить? Об этом - в следующем посте.

Координаты точек пересечения графика функции f(x) с ее асимптотами

Вопрос, вынесенный в заголовок этого поста, обычно не включают в классическую общую схему исследования функции. Причины этого банальны - трудоемкость и экономия времени. Однако, для получения более детального представления об изучаемой функции знание координат точек пересечения графика функции f(x) с ее асимптотами представляется достаточно важным, чтобы уделить ему внимание. Тем более, что вопросы трудоемкости и экономии времени при использовании Wolfram|Alpha, как вспомогательного инструмента, отступают практически на последний план.

Продолжим изучение реализации общей схемы исследования функции одной переменной с помощью Wolfram|Alpha. Напомню, что в качестве примера мы избрали функцию


Пока что мы находимся на первом этапе общей схемы исследования функции, в который кроме темы данного поста вошли следующие вопросы, выяснение которых "вручную" (без Wolfram|Alpha) обычно занимает достаточно много времени. Вот эти вопросы, уже рассмотренные нами ранее:
  1. Найти область определения функции f(x), точки ее разрыва.
  2. Найти множество значений функции f(x).
  3. Найти точки пересечения графика функции f(x) с осью Ox (нули функции f(x)).
  4. Найти точку пересечения графика функции f(x) с осью Oy.
  5. Найти асимптоты графика функции f(x).
  6. Поведение функции f(x) возле ее вертикальных асимптот.
Теперь рассмотрим 7-е задание, которое обычно не включают в классическую схему исследования функции - найдем координаты точек пересечения графика функции f(x) с ее асимптотами (кроме вертикальных), если они есть.

Сначала найдем абсциссы точек пересечения графика функции f(x) и ее асимптоты g(x). для этого используется запрос real roots of f(x)=g(x).

Поскольку наклонная асимптота данной функции уже была найдена ранее, то в нашем случае данный запрос имеет вид:

real roots of (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))=-5x-14



Таким образом, график данной функции пересекается со его наклонной асимптотой в трех точках, абсциссы которых мы только что нашли.

Теперь, чтобы найти ординаты точек с найденными абсциссами x=a, b, c, … используем запрос f(x) where x=a, b, c, …

y=(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)) where x=-0.82909, -0.72703, 0.488718



Эти расчетом заканчивается первый этап исследования функции одной переменной.

ShareThis